En probabilités, l’intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, désigne l’ensemble des issues où A et B se réalisent simultanément. La formule P(A ∩ B) = P(A) × P(B) n’est valide que sous une condition précise : l’indépendance des deux événements. Appliquer cette égalité sans vérifier cette hypothèse produit des résultats faux, et c’est l’une des erreurs les plus fréquentes en exercice comme en modélisation.
Indépendance d’un événement avec lui-même : le cas limite souvent ignoré
Les cours de lycée et de licence présentent la définition standard : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). La formule paraît simple, mais elle recèle un cas limite rarement discuté dans les manuels scolaires.
A lire en complément : EI&A : les outils indispensables
Que se passe-t-il quand A = B ? L’indépendance de A avec lui-même exigerait P(A ∩ A) = P(A)², soit P(A) = P(A)². Cette équation n’admet que deux solutions : P(A) = 0 ou P(A) = 1. Un événement ne peut donc être indépendant de lui-même que s’il est certain ou impossible.
Ce résultat, explicitement formulé dans le cours de probabilités et statistique de l’Université de Genève (année académique 2025-2026), montre que la formule P(A ∩ B) ne caractérise pas l’absence de lien logique entre événements. Elle décrit un comportement probabiliste précis. Les événements de probabilité 0 ou 1 sont « triviaux » du point de vue de l’indépendance : ils sont indépendants de tout autre événement, y compris d’eux-mêmes.
A lire en complément : Sin a cosb dans sin(ab) et sin(a+b) : mémo visuel à imprimer
Probabilité conditionnelle et intersection : la formule générale
Lorsque deux événements ne sont pas indépendants, la multiplication directe de leurs probabilités ne fonctionne plus. La formule générale de l’intersection repose sur la probabilité conditionnelle :
P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)
P_B(A) se lit « probabilité de A sachant B ». Elle mesure la probabilité de A dans l’univers restreint aux issues où B s’est réalisé. Si P(B) est non nulle, on peut aussi écrire P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B).
Pourquoi cette formule est plus fiable que la multiplication directe
La formule conditionnelle fonctionne dans tous les cas. Quand A et B sont indépendants, P_B(A) = P(A), et on retombe sur P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Quand ils ne le sont pas, la probabilité conditionnelle capture la dépendance.
Prenons un sac contenant deux boules noires et deux boules blanches. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule. A désigne « le premier tirage donne une boule blanche », B désigne « le deuxième tirage donne une boule blanche ». Sans remise, le résultat du premier tirage modifie la composition du sac pour le second. A et B ne sont pas indépendants, et appliquer P(A) × P(B) donnerait un résultat erroné.
Avec remise, en revanche, la composition du sac reste identique d’un tirage à l’autre. Les événements deviennent indépendants, et la multiplication directe est correcte.
Tester l’indépendance de deux événements en probabilité
Affirmer que deux événements sont indépendants ne se fait pas à l’intuition. Trois méthodes de vérification existent, et elles sont équivalentes :
- Calculer P(A ∩ B) et vérifier qu’elle est égale à P(A) × P(B). C’est la définition même de l’indépendance.
- Calculer P_A(B) et vérifier qu’elle est égale à P(B). Savoir que A s’est réalisé ne change rien à la probabilité de B.
- Calculer P_B(A) et vérifier qu’elle est égale à P(A). Le raisonnement est symétrique.
En pratique, le choix de la méthode dépend des données de l’énoncé. Si un arbre pondéré est fourni, les probabilités conditionnelles se lisent directement sur les branches. Si un tableau à double entrée est donné, le calcul de P(A ∩ B) par dénombrement est souvent plus rapide.
Indépendance et incompatibilité : deux notions distinctes
Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) ne peuvent pas se réaliser ensemble : P(A ∩ B) = 0. Deux événements indépendants, eux, peuvent très bien se réaliser ensemble, mais la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de l’autre.
Incompatibilité et indépendance sont incompatibles entre elles (sauf cas trivial). Si A et B sont incompatibles avec des probabilités non nulles, alors P(A ∩ B) = 0, tandis que P(A) × P(B) > 0. L’égalité n’est jamais vérifiée : les événements ne peuvent pas être indépendants.
Calcul de P(A ∩ B) avec un dé : exemple complet
On lance un dé équilibré à six faces. A désigne l’événement « obtenir un nombre pair » et B l’événement « obtenir un multiple de 3 ».
A = {2, 4, 6}, donc P(A) = 3/6 = 1/2. B = {3, 6}, donc P(B) = 2/6 = 1/3. L’intersection A ∩ B = {6}, donc P(A ∩ B) = 1/6.
Vérifions : P(A) × P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6 = P(A ∩ B). Les événements A et B sont indépendants dans cette expérience.
Quand le résultat change avec un second dé
On lance maintenant deux dés (un rouge, un vert). A désigne « la somme des deux dés fait 6 » et B désigne « le dé rouge donne un nombre pair ». Un dénombrement de toutes les combinaisons possibles montre que P(A ∩ B) diffère de P(A) × P(B). Les événements ne sont pas indépendants : la parité du dé rouge influence les combinaisons qui produisent une somme de 6.
Ce second exemple illustre que l’indépendance dépend de la structure de l’expérience, pas de la nature des événements pris isolément.
Limites de la définition par la formule produit
La définition P(A ∩ B) = P(A) × P(B) fonctionne parfaitement en calcul. Sur le plan conceptuel, elle a ses limites. Elle ne dit rien sur un lien causal entre A et B. Deux événements peuvent être indépendants au sens probabiliste tout en ayant une relation logique ou physique dans le monde réel.
La littérature avancée en probabilités souligne que cette définition est opératoire (elle permet de calculer) mais pas explicative (elle ne dit pas pourquoi deux événements sont indépendants). En modélisation, l’indépendance est souvent une hypothèse posée a priori, pas une propriété démontrée à partir des données. Vérifier si cette hypothèse tient est un travail à part entière, qui relève de la statistique inférentielle.
Retenir la formule P(A ∩ B) = P(A) × P(B) comme un outil de calcul conditionné à une hypothèse explicite d’indépendance reste la posture la plus fiable, que ce soit pour un exercice de probabilités en première ou pour un modèle appliqué.
