En trigonométrie, la confusion entre cos cos sin sin et cos²sin² revient à chaque rentrée de Première et persiste souvent jusqu’en Terminale. Le problème tient moins à la difficulté mathématique qu’à une ambiguïté de notation : quand on écrit « cos cos », parle-t-on d’une composition de fonctions, d’un produit, ou d’une puissance ? Cet article pose les distinctions techniques qui permettent de lire et d’écrire ces expressions sans hésiter.
Notation cos² et sin² : ce que l’écriture signifie vraiment
L’écriture cos²(x) est un raccourci conventionnel pour (cos(x))². Elle désigne le carré du résultat de la fonction cosinus appliquée à l’angle x. Le même principe s’applique à sin²(x), qui vaut (sin(x))².
Cette convention est propre à la trigonométrie. En analyse classique, f²(x) noterait plutôt f(f(x)), la composée de f avec elle-même. cos²(x) signifie toujours (cos x) au carré, jamais cos(cos(x)). C’est un accord tacite entre les manuels de lycée et de prépa, mais il déroute les élèves qui découvrent la notation pour la première fois.
Le piège concret : écrire cos²x sur une calculatrice ne produit pas le même résultat selon le modèle. Certaines interprètent la saisie comme cos(x²) et non (cos(x))². Ajouter systématiquement les parenthèses évite toute ambiguïté machine.
Différence avec cos(cos(x))
L’expression cos(cos(x)) existe bel et bien. Elle désigne la composition : on calcule d’abord cos(x), puis on applique une seconde fois la fonction cosinus au résultat. Pour x = 0, cos(cos(0)) = cos(1) – environ 0,54 – alors que cos²(0) = 1. Les deux écritures produisent des valeurs très différentes.
Quand un énoncé écrit « cos cos sin sin » sans exposant ni parenthèse, il faut deviner l’intention. Dans la grande majorité des contextes scolaires, l’expression renvoie aux formules d’addition ou à l’identité pythagoricienne, pas à une composition itérée.
Formules d’addition : le vrai contexte de « cos cos sin sin »
La séquence « cos cos sin sin » apparaît le plus souvent quand un élève tente de retenir la formule d’addition du cosinus. Cette formule s’écrit :
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
La structure « cos cos moins sin sin » correspond à cos(a + b). Pour cos(a – b), le signe central devient un plus : cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). C’est le moyen mnémotechnique « coco-sisi » que plusieurs ressources pédagogiques utilisent.
La formule du sinus suit une logique inversée :
- sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) – les fonctions alternent dans chaque terme, et le signe est celui de la somme
- sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b) – même alternance, signe inversé
- cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) – chaque terme garde la même fonction, le signe est opposé à celui de la somme
Le point à retenir : dans la formule du cosinus, les deux termes sont « homogènes » (cos-cos et sin-sin). Dans celle du sinus, les termes sont « croisés » (sin-cos et cos-sin). Cette symétrie structurelle distingue les deux familles de formules.
Identité pythagoricienne cos² + sin² = 1
L’autre contexte fréquent pour l’expression cos²sin² est l’identité fondamentale de la trigonométrie : cos²(x) + sin²(x) = 1. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique de rayon 1.
Sur ce cercle, un point M a pour coordonnées (cos(x), sin(x)). Puisque M se trouve sur un cercle de rayon 1 centré à l’origine, la somme des carrés de ses coordonnées vaut 1. La démonstration tient en une ligne, mais l’identité sert partout.
Usages concrets de cette identité
En Première, cos² + sin² = 1 sert principalement à calculer un sinus quand on connaît le cosinus, et inversement. Si cos(x) = 3/5 et que l’angle est dans le premier quadrant, alors sin(x) = 4/5.
En Terminale, l’identité intervient dans la simplification de dérivées et la résolution d’équations trigonométriques. Quand une expression contient à la fois cos²(x) et sin²(x), remplacer l’un par (1 – l’autre) réduit souvent le degré du problème.
L’identité possède deux variantes obtenues par division :
- Diviser par cos²(x) donne 1 + tan²(x) = 1/cos²(x), utilisée pour exprimer la dérivée de la tangente
- Diviser par sin²(x) donne 1 + cot²(x) = 1/sin²(x), moins fréquente au lycée mais présente en prépa
- Ces deux formes dérivées permettent de réécrire des expressions complexes en termes d’une seule fonction trigonométrique
Produit cos²(x)sin²(x) et linéarisation
Quand cos² et sin² ne sont pas additionnés mais multipliés, on obtient cos²(x)sin²(x). Cette expression n’est ni une identité ni une constante : elle dépend de l’angle x.
Linéariser cos²(x)sin²(x) revient à l’exprimer sans puissance. En utilisant la formule de duplication sin(2x) = 2sin(x)cos(x), on obtient sin(x)cos(x) = sin(2x)/2. Le produit des carrés devient alors sin²(2x)/4, qu’on peut encore linéariser en (1 – cos(4x))/8.
Ce type de transformation est courant en prépa pour calculer des intégrales. Un produit de puissances trigonométriques se ramène à une somme de cosinus ou de sinus simples, directement intégrables.
Passage de la lecture sur le cercle à l’écriture fonctionnelle
Le programme de Première travaille la trigonométrie sur le cercle trigonométrique : radians, valeurs remarquables, lecture graphique des coordonnées. En Terminale, les fonctions cosinus et sinus deviennent des objets d’analyse avec dérivées, variations et courbes représentatives.
La confusion « cos cos sin sin » ou « cos²sin² » traduit souvent un décalage entre ces deux niveaux de compréhension. Un élève qui lit cos²(x) comme « le point du cercle au carré » n’a pas encore basculé vers la lecture fonctionnelle. Tant que cette bascule n’est pas faite, les formules d’addition et la linéarisation restent des suites de symboles sans logique interne.
Pour ancrer la différence, un exercice efficace consiste à évaluer numériquement chaque expression pour un même angle. Prendre x = pi/4, calculer cos(cos(x)), cos²(x), cos(x)cos(x), et comparer les résultats. Les valeurs divergent suffisamment pour que la distinction devienne concrète et définitive.
